Неисправности насосной станции джамбо и их устранение: не набирает давление, не качает, не включается и других

Содержание

Неисправности насосных станций и их устранение

Назначение насосной станции состоит в обеспечении подачи воды в частный сектор. Оборудование устанавливается в том случае, если рядом не проходит центральная магистраль. Подъем воды ведется из водоема или колодца. С целью экономии средств возможно проведение ремонта и обслуживания своими руками.

Состав насосной станции и назначение частей

Насосное оборудование представляет соединенные между сбой узлы, к ним относятся:

Насос. В его задачу входит подъем воды из водоема и доставка ее по трубопроводу к месту назначения.
Гидроаккумулятор. Разделен на 2 части специальной эластичной перегородкой. Одна заполняется газом, а другая водой. Назначение узла состоит в поддержании необходимого уровня давления в системе при временном отключении станции.
Обратный клапан. В его задачу входит удержание жидкости от стекания ее обратно во время отключения насоса.
Блок управления состоит из манометра и реле. Эти приборы фиксируют уровень давления в трубопроводе и управляют работой системы.
Электропитание.

Принцип работы насосной станции

Перед включением оборудования с помощью реле выставляется верхний порог давления и нижний. Подача жидкости в гидроаккумулятор ведется, пока давление в нем не сравняется с установленным верхним показателем. После этого насос автоматически отключается.

С открытием крана жидкость поступает в трубопровод из гидроаккумулятора, и начинается уменьшение давления. Как только оно достигает нижнего значения, реле направляет сигнал насосу на очередную закачку воды.

В случае непрерывного расхода жидкости система не отключается, поскольку давление не в состоянии достичь верхнего предела.

После выключения кранов оборудование продолжает работу с целью достижения верхнего порогового уровня, а затем отключается. Во время очередного включения давление опять начинает подниматься.

Проблемы и неисправности насосных станций и их исправление

В процессе эксплуатации водяных насосов происходят разные поломки. Чтобы качественно проводить ремонт насосных станций, необходимо знать, какие узлы чаще всего выходят из строя и как устранять неисправности. Какое бы оборудование не устанавливалось для частного дома, поломки всегда носят типичный характер.

Не отключается насосная станция, не набирает давление

Причины носят следующий характер:

Отсутствие воды в колодце. Допускать этого нельзя, потому что есть риск перегорания двигателя в результате его перегрева. Чтобы этого не произошло, требуется наличие датчика, который бы подавал команду на отключение.
Недостаточная проходимость магистрали. Причиной может служить малый диаметр труб, засор или потеря герметичности.
Поломка обратного клапана. Требуется его разборка и устранение неисправности.
Засорение фильтра. Необходима его прочистка или замена.
Окисление контактов реле. Прибор снимается и очищается от окалины.
Выработка крыльчатки насоса. Вода перестает подаваться вверх. Если заменить деталь возможности нет, требуется установка нового насоса.
Малое напряжение в сети. В результате не срабатывает реле. Необходимо подключение стабилизатора.

Ремонт насосной станции: часто включается

Частые включения негативно сказываются на работе аппарата. Причины могут заключаться в следующем:

Маленький объем гидроаккумулятора. Использование накопленной воды идет быстро. Из-за ее постоянной нехватки насосу приходится включаться чаще. Чтобы этого не происходило, допускается подключение дополнительной аккумулирующей емкости.
Неправильно выставленное реле. Частое включение происходит потому, что формирующееся давление в гидроаккумуляторе ниже выставленного на приборе.
Поломка обратного клапана. Отсутствует перекрытие воды, жидкость бесконтрольно уходит, напряжение водного потока в системе постоянно уменьшается.
Нарушение мембраны. Это приводит к резкому уменьшению напора при включении крана.
Не держит ниппель золотника гидроаккумулятора. Требуется его замена.

Воздух в воде

Присутствие воздуха в трубопроводе — явление постоянное, но большое его количество приводит к подаче жидкости через кран рывками.

Это происходит по следующим причинам:

Упал уровень воды в колодце и нижний шланг находится выше поверхности. Для устранения такой причины требуется просто опустить ниже патрубок, чтобы его нижняя часть полностью покрылась водой.
Потеря герметичности трубопровода. Через образовавшиеся щели идет подсос воздуха. Все стыковые соединения нуждаются в проверке. Найденные зазоры требуют устранения.

Насосная станция не включается

Если насосная станция не запускается, то обращают внимание на следующие факторы:

Напряжение. Если сеть не выдает нужных параметров, станция работать не будет.
Вышел из строя насос. В таком случае требуется его замена или ремонт.
Обрыв в шнуре. Нужно найти это место и устранить разрыв.
Окисление контактов. Требуется их зачистка.

Мотор гудит, но не качает воду, крыльчатка не вращается

Причины могут носить как электрический, так и механический характер.

Низкое напряжение.
Перегорание в клеммной колодке конденсатора. Определяется тестером и меняется в случае необходимости.
Засорился обратный клапан. Требуется его прочистка.
Заклинивание крыльчатки. Для этого насос поднимается на поверхность и производится попытка провернуть вал вручную. Если это не удается, агрегат разбирается и исследуется причина неполадки. В некоторых случаях она устраняется в домашних условиях, а иногда приходится обратиться к специалистам.

Некоторые виды ремонтных работ

В зависимости от сложности поломки ремонт проводится своими руками или для этой цели приглашаются мастера. К простым работам относятся прочистка фильтра или устранение засорения обратного клапана. Более сложного ремонта требует неисправный гидроаккумулятор. Здесь нужно иметь знания и опыт подобной работы.

Замена груши гидроаккумулятора

Первым признаком пробитой мембраны («груши») будет резкое уменьшение напора воды. Жидкость подается вместе с воздухом. Первым делом проверяется давление в гидроаккумуляторе, которое должно соответствовать 1,5 атм. Если оно отсутствует, то проводится замена мембраны. Порядок работы следующий:

Прибор отключается от сети, сливается вода и откручивается фланец.
Вынимается порванная груша, бачок осматривается на наличие ржавчины. Если она имеется, то подлежит удалению. После этого емкость просушивается.
Вместо старой груши устанавливается новая мембрана, и фланец ставится на место.

Дальше следует проверка утечки воздуха или жидкости.

Ремонт насосной станции своими руками

Содержание статьи

Зная самые распространенные и частые причины поломок насосной станции, можно попробовать выполнить её ремонт своими руками. В тех ситуациях, когда насосная станция гудит, а вода не поступает из крана, или, наоборот, когда насосная станция не запускается и не наполняет водой гидроаккумулятор.

В данной статье строительного журнала samastroyka.ru мы разберёмся с наиболее типичными проблемами насосных станций, а также рассмотрим, как их можно решить собственными усилиями.

Ремонт насосной станции — основные причины поломки

Конструкция насосной станции не слишком сложная, хотя и не лишена электроники. Именно она отвечает за давление воды в трубопроводе, нередко ломается или требует чёткой регулировки. Насосная станция состоит из таких узлов с механизмами: насоса с электродвигателем, реле давления, расширительного бака (он же гидроаккумулятор), манометра и фильтра с обратным клапаном.

Принцип работы насосной станции с реле давлением примерно выглядит так: когда давление в системе водоснабжения понижается до нижнего значения, реле дает команду насосной станции на включение, после чего производится наполнение жидкостью гидроаккумулятора. После того, как давление дойдет до верхнего значения, реле отключает насосную станцию.

Как правило, заводские настройки насосной станции на давление воды выставлены в пределах 1,4-3 атм. При этом, гидроаккумулятор призван поддерживать необходимое давление в системе, путем установленной в него резиновой мембраны, в которую закачивается часть воды для водозабора, в том случае, если отсутствует электричество в доме.

Поэтому чаще всего, ремонт насосной станции связан именно с гидроаккумулятором и мембраной или с реле, которое отвечает за требуемый уровень давления воды в системе водоснабжения. Ниже будут приведены самые распространенные причины поломки насосных станций.

Выход из строя мембраны гидроаккумулятора

Возможно, вы нередко замечали, что вода из крана льётся вперемешку с воздухом, или такую ситуацию, когда насосная станция слишком часто включается. Так вот, проблемы в данном случае могут быть вызваны из-за повреждения резиновой мембраны внутри гидроаккумулятора.

Кроме того, иногда причинами поломки может стать и отсутствие требуемого давления в гидроаккумуляторе. Чтобы накачать гидроаккумулятор воздухом, следует взять обычный насос и довести объем воздушной массы в мембране до значения, которое бы превышало на 0,2 атм. нижний предел срабатывания насосной станции.

Из-за чего вода может не поступать из насосной станции

Если вода не идет из насосной станции, то прежде чем относить её в мастерскую, можно попробовать решить проблему самостоятельно. В данном случае, ремонт насосной станции своими руками, следует осуществлять последовательно:

1. Сначала потребуется проверить, поступает ли к насосной станции электричество, и не слишком ли занижено напряжение. Если проблема именно в низком напряжении, то потребуется осуществить его стабилизацию, осуществив подключение стабилизатора напряжения

.

2. Если насосная станция гудит, а вода из неё не идет. Самая распространенная причина — это скопление большого количества воздуха в насосной станции (просто станция завоздушена). Чтобы стравить воздух, следует открутить болт сверху насосной установки, и дождаться пока из отверстия не начнёт поступать вода.

Также, проблемы могут наблюдаться и вследствие неправильного монтажа. О том, как подключить насосную станцию правильно, читайте в другой статье сайте.

3. Остальными причинами, являются: выход из строя насоса, заклинивание двигателя, вследствие поломки подшипников. Кроме того, нередко после длительного простоя, в насосной станции образуются слишком толстые солевые отложения, из-за чего не может нормально вращаться ротор или крыльчатка обдува.

Чтобы отремонтировать насосную станцию в данном случае, нужно попробовать повернуть её ротор вручную.

4. Если насосная станция включается и слышно как работает двигатель, но вода из неё все равно не поступает, нужно проверить, если требуемый объем воды в емкости или колодце. Также, возможно, сильно засорился фильтр тонкой и грубой очистки, возможен порыв подающего трубопровода.

Что делать, если насосная станция часто включается?

Причины, из-за которых насосная станция всё время включается, могут быть следующими:

1. В гидроаккумуляторе насосной станции нет давления из-за повреждения мембраны или по причине разгерметизации. Следует накачать гидроаккумулятор.

2. Мембрана гидроаккумулятора повреждена. Потребуется заменить резиновую мембрану. К сожалению, ремонту насосная станция в данном случае не подлежит, только замена мембраны.

3. Возможны утечки в системе водоснабжения. В первую очередь обязательно следует проверить исправность обратного клапана, который обязательно должен быть установлен перед насосной станцией. Возможно, именно из-за того, что обратный клапан «не держит», вода и уходит обратно в трубопровод.

4. Неправильно выставлено давление в насосной станции. Чтобы решить подобного рода проблему, следует проверить нижний и верхний порог давления, и при необходимости его подкорректировать. О том, как выполняется

регулировка насосной станции, читайте здесь.

Важно — чем больше по значению будет разница между нижним и верхним порогом давления, тем реже по времени будет включаться насосная станция.

6. Гидроаккумулятор насосной станции слишком маленького объёма. К сожалению, это еще одна довольно распространенная причина, из-за которой насосная станция постоянно включается.

Просто водоразбор в доме происходит интенсивно, и воды которая накапливается в гидроаккумуляторе, попросту не хватает.

Решить проблему можно заменой гидроаккумулятора на другой бак, с большей емкостью, или подключением параллельно к нему, ещё одного гидроаккумулятора.

Почему насосная станция не включается

Насосная станция может не включаться по целому ряду причин. Самыми распространенными из них, являются:

1. Неправильно отрегулировано реле давления. Другими словами, выставлено слишком большое значение, из-за чего слабомощный насос просто не в силах набрать требуемое давление. Для решения данной проблемы, и ремонта насосной станции своими руками, нужно выставить меньшее давление или произвести замену насоса на более мощный агрегат.

2. Выход крыльчатки насосной станции из строя.

3. Слишком маленькое напряжение в сети 220 Вольт.

4. Обратный клапан или фильтр насосной станции засорились или вышли из строя. Также, причинами этому, может быть и поломка реле блока управления давлением насосной станции.

5. Не хватает мощности насосной станции для того, чтобы поднять воду на определенную высоту. Кроме того, причинами может быть и слишком зауженный трубопровод, вследствие чего, динамическое сопротивление в нём, превышает напор воды.

Причины неполадок по которым насосная станция часто включается и выключается — СамСтрой

Любое жилое помещение, будь то загородная дача или фешенебельный особняк, не будет полноценно функционировать без современной системы водообеспечения. Стабильное давление в трубопроводах обеспечивает специальный комплект оборудования, состоящий из насоса, резервуара и управляющего блока. К сожалению, в процессе эксплуатации без поломок не обойтись. Любому владельцу стоит изучить их причины и методы ремонта.

Комплектация насосной станции для дома

Понять, почему часто включается насосная станция при наборе воды, без знания ее конструкции и принципа работы непросто. Распространенные модели включают несколько узлов:

Помпа – классифицируется по типам (например, вихревая или центробежная), по месту расположения (поверхностная или погружная) и мощности. Для поддержания давления в системе используют дополнительные устройства.
Гидроаккумулятор – бак с прочными стенками и резиновой мембраной служит для стабилизации водяного давления. Принцип работы: поступающая в емкость вода, растягивает упругую мембрану, после чего она стремится возвратиться в исходное положение, и выдавливает жидкость в трубопровод.
Блок управления с механическим реле – отвечает за оптимальное функционирование гидроаккумулятора и помпы. Если насос стал чаще включаться, стоит уделить внимание регулировке пружин, чтобы задать уровень давления в автономном водопроводе.

Любой дисбаланс регулировок, и пожалуйте, – работа всего комплекса под вопросом. Здесь ситуация в корне отличается от той, когда радиаторы горячие, а в квартире холодно – преждевременный износ и выход агрегатов из строя неизбежен. Например, обстоятельство, когда насосная станция часто включается и выключается при открытых кранах, говорит о несоблюдении дельты давлений воздуха в баке и момента срабатывания реле включения насоса.

Как показывает опыт общения с домовладельцами, не все понимают разницу между гидроаккумулятором и емкостью для воды. Тут все просто – гидравлический аккумулятор уменьшает число пусков помпы, чем увеличивает ее срок службы, и защищает от гидроударов. Емкость же служит для накопления воды на случай отключения электроснабжения. Поэтому выбирать объем гидробака нужно в зависимости от норм потребления

Отчего включается насосная станция при наборе воды: устраняем неполадки

Суть работы водоснабжающего комплекса заключается в поддержании водяного давления в системе за счет его периодической работы. Достигая установленных на блоке управления показателей, помпа должна выключаться. Если она начинает работать непрерывно, то придется выключить оборудование и определить причину неисправности.

Регулятор давления

Нелады с регулятором – это когда часто срабатывает реле давления насосной станции или вообще не отключается. Чтобы убедиться в своих предположениях, достаточно выполнить ряд операций:

Проверить правильность показаний встроенного манометра. Для этого можно использовать автомобильный насос, заодно при необходимости восстановить рабочее давление через золотник.
Перед проверкой узла регулировки отключить оборудование от электросети, слить из бака гидроаккумулятора воду.
Демонтировать крышку блока управления.
Отверткой провернуть регулирующий винт, фиксирующий крупную пружину реле: почасовой стрелке порог давления воды увеличивается, а против часовой – снижается.v
Если насосная станция слишком часто включается при наборе воды, то видимо, предел завышен – повернуть винт большой спирали против часовой. Затем стравить и снова закачать воздух. Реле должно автоматически срабатывать в процессе стравливания воздуха, при достижении минимального уровня давления, зафиксированного в инструкции.
Частое самопроизвольное включение насоса может быть и по причине неверно выставленного рабочего диапазона. Пружина меньшего калибра ответственна за интервал между началом и окончанием работы помпы. После выставления нижнего уровня (большая спираль) нужно выставить верхний порог отключения оборудования, который составляет 95% от допустимого давления в системе.

В последнем случае, когда рабочий интервал слишком мал, станция не будет набирать норму воды за один цикл. Это повышает частоту включений, но достаточно простой регулировки маленькой пружины – и эффективность устройства будет восстановлена. Правильность установки диапазона инспектируют двумя-тремя циклами накачки и стравливания воздуха с контролем показаний манометра.Встречается ситуация, похожая на ту, когда плохо греют биметаллические радиаторы, то есть банальный засор. По причине грязной воды засоряется входное отверстие реле блока управления. Здесь достаточно поработать жесткой щеткой, чтобы избавиться от посторонних примесей.

Нагнетающий насос

Бывает, что при открытых кранах даже новая насосная станция часто включается и выключается сама по себе вследствие недостаточного уровня электропитания. Крыльчатка помпы не в состоянии развить оптимальную мощность для наполнения водяной системы.

Проблема одинаково может скрываться как в электрической, так и в механической части насоса:

В процессе эксплуатации механика конструкции изнашивается, это сопровождается падением водяного давления, иными словами, насосная станция не держит давление в водопроводе. Проверить работоспособность насоса можно, отключив его от системы, после чего визуально оценить мощность струи воды. Основные узлы помп ремонту не подлежат, их меняют целиком.
Патрубки центробежного насоса со временем могут засориться. Здесь поможет механическая очистка и обработка чистящими составами.
Длительная эксплуатация способствует образованию окислов на контактах клеммной коробки, что затрудняет проходимость электротока. Насос перестает выдавать свою мощность. Устраняется неполадка просто: оборудование обесточивается, и контакты зачищаются.

Неустойчивая работа оборудования может быть следствием нестабильного напряжения в домашней сети. Проблема решается подключением стабилизатора.

Почему часто включается и выключается насосная станция при открытых кранах: причина в гидроаккумуляторе.

Один из главных узлов системы – аккумулятор давления, состоящий из металлической емкости и мембраны. В процессе работы резиновая мембрана существенно растягивается или вовсе приходит в негодность. То же касается и металлического бака, со временем он корродирует и не держит давление. Бывает, что емкость дефектна с самого начала, часто такое случается по сварному шву.

Когда насосная станция работает рывками или часто включается при наборе воды, есть смысл оценить целостность резиновой груши. Для этого не нужно разбирать аккумулятор, достаточно нажать на клапан-нипель – из него должна выходить струя воздуха. Если из отверстия идет вода, то мембрану придется менять.

Повреждение фальца, который крепит резиновую грушу, также влияет на работу комплекса. Любая деформация детали способна нарушить герметичность устройства. Замена как мембраны, так и фальца требует демонтажа гидроаккумулятора и его разборки.

Дополнительные факторы

Скрытые утечки в системе труб водоснабжения также могут стать причиной нестабильной работы комплекса. Ситуация сложная, поскольку повреждение трубы возможно и под землей. Обнаружить такую поломку довольно сложно.

Если возникает вопрос, как часто должна включаться насосная станция, то стоит обратить внимание на расчеты водопотребления. Возможно, что ваши запросы на воду увеличились, и нужно подумать о параллельной установке еще одной емкости или заменить более емким ресивером.

Не помешает принять во внимание еще несколько факторов:

Засорился обратный клапан – поток воды не перекрывается, она уходит из системы, давление снижается, а насос постоянно включается. Выхода два: снять и почистить клапан или заменить на новый.
Вышел из строя конденсатор в клеммной коробке – в этом случае помпа не будет запускаться вообще. Деталь проверяют тестером и меняют при необходимости.
Неисправен золотник – воздух из бака выходит в атмосферу и его давление падает, что приводит к учащенной работе помпы. Для устранения неисправности гидроаккумулятор нужно демонтировать, вынуть мембрану, и заменить ниппель.

НАСОСНЫЕ СТАНЦИИ

| |

От резервуара нефтепромысла начинается магистральная магистраль и здесь расположена первая магистральная насосная станция. Когда масло перекачивается по трубопроводу, трансмиссии противодействует трение потоку, которое является результатом двух факторов. Первым из них является сопротивление трения, возникающее между внутренней стенкой трубы и внешним цилиндром масла, контактирующим с ней.Вторая причина связана с внутренним сопротивлением движению самого масла, жидкостным трением, возникающим в результате скольжения многих поверхностей масла друг по другу по всему поперечному сечению трубы. Величина сопротивления, создаваемого этими силами трения, будет зависеть от длины трубы, по которой перекачивается масло, скорости потока, состояния внутренней поверхности трубы и вязкости масла. Последнее свойство будет изменяться в широких пределах при изменении температуры масла.Изменение температуры масла от лета к зиме приведет к значительному изменению вязкости масла, чтобы повлиять на пропускную способность линии при постоянном давлении до 10% для средней сырой нефти и даже больше для более тяжелых сортов.

В прежние годы предпринимались попытки нагреть масло перед его выходом из насосной станции, чтобы снизить его вязкость, что приводило к увеличению пропускной способности линии, при этом использовалось тепло выхлопных газов паровых насосов. Однако масло вскоре потеряло температуру, и прирост емкости был незначительным.Современная практика в среднем для сырой нефти не предусматривает предварительного подогрева. Предварительный подогрев в настоящее время оправдан только в случае перевозки тяжелых масел на короткие расстояния.

Движущим агентом, позволяющим маслу преодолевать эти несколько сопротивлений потоку, является насос, который сообщает маслу определенное начальное давление, благодаря чему оно движется по трубе, преодолевая возникающее сопротивление, пока давление насоса не будет полностью израсходовано. Если поток должен продолжаться, то необходимо дать oi1 новый импульс, пропустив его через второй насос.Считается, что потеря давления на единицу длины трубы имеет первостепенное значение во всех расчетах трубопроводов. Зная это для заданного набора условий, можно будет рассчитать расстояние, на которое может быть передана нефть при заданном начальном давлении, и расстояние между насосными станциями вдоль трассы линии.

Насосные станции обычно расположены примерно через равные промежутки времени, и оборудование для всех станций на одной линии может быть практически стандартизировано.

Конструкция станции будет в значительной степени зависеть от типа используемой мощности. Поскольку нефть является наиболее легко доступным топливом, ее обычно используют в качестве источника для силовых насосных станций на линии. В случае, когда масло слишком ценно, чтобы использовать его в качестве топлива, используется мощность пара. Основное оборудование насосной станции обычно состоит из двигателей (масляных или паровых) и насосов, которые иногда приводятся в движение двигателями через валы. Есть разные виды насосов. Они могут быть как с вертикальным тройным, так и с горизонтальным двойным плунжером, работающим при различных давлениях и имеющим производительность от 5000 до 45000 баррелей в день.

Вспомогательное оборудование: градирни для охлаждения двигателей; генераторы для подачи электрического тока на зажигание двигателей, работу водяных насосов и освещение территорий и сооружений; и некоторые резервуары для хранения или резервуары для хранения попутной нефти на случай ремонта насосов, когда они остановлены на некоторое время.

: 10.09.2015; : 14 |

lektsii.net -. — 2014-2021 гг. (0,006.)

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавить одну строку в другую строку, кратное числу.

Цель этих операций — преобразовать — или уменьшить — исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a _ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, а первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет вид эшелон .Решения системы представлены более простой расширенной матрицей [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку элементарные операции со строками не изменяют решения системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A ′ x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = b .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первая цель состоит в том, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель — получить ноль под второй записью во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого — добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка окончательной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y — 3 z = — 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x — 2 y + z = 0, дает x = 3. Следовательно, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) —

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление −1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Решение этой системы, следовательно, ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение по Гауссу осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a _ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a _ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, выполнив дополнительные операции со строками для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную эшелонированную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, исключение Гаусса работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как исключение Гаусса-Жордана, продолжается с того места, где остановилось Гаусса, затем работая снизу вверх, чтобы создать матрицу в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , брошенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at ² + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1 и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Так как t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель — решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращена следующим образом:

На этом прямая часть исключения Гаусса завершена, так как матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако для иллюстрации исключения Гаусса-Жордана выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Далее, -1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

В предыдущем примере показано, как исключение Гаусса выявляет противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечно большим числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в Примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку это не накладывает ограничений на неизвестные, на неизвестные нет трех условий, а только два (представленных двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку имеется 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t — любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение т дает свое конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, — 9, −3) и так далее. Геометрически эта система представляет собой три плоскости в R ³, которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных будет равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть по крайней мере одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найти все решения системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется хотя бы одним параметром в общем решении.После построения соответствующей расширенной матрицы исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остались только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t ₁ и z = t ₂. Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

и первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где т ₁ т ₂ могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b ₁, b ₂, b ₃) ^T и пусть A будет матрицей

При каких значениях b ₁, b ₂ и b ₃ будет согласована система A x = b ?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который по Гауссу сокращает следующим образом:

В нижней строке теперь подразумевается, что b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ должно быть равно нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть растворины (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b ₁, b ₂, b ₃) ^T, для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется гомогенной системой .В матричной форме он читает A x = 0 . Поскольку каждая гомогенная система согласована — поскольку x = 0 всегда является решением — однородная система имеет либо ровно одно решение ( тривиальное решение , x = 0 ), либо бесконечно много. Уменьшение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно увеличивать матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t — любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение т дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обоих была одна и та же матрица коэффициентов A, , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b ≠ 0 ), а здесь — соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

иллюстрирует важный факт:
Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A, , x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A, x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x _h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x _h + x представляет общее решение A x + b , где x — любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .
[Техническое примечание: Теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L — линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y _h повторно отображает общее решение L (y) = 0, тогда y = y _h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y — любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]
Пример 11 : Определить все решения системы
Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:
Поскольку в этой конечной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных, например y и z , являются свободными переменными. Пусть y = t ₁ и z = t ₂.Обратная подстановка y = t ₁ и z = t ₂ во вторую строку ( x — 3 y + 4 z = 1) дает
Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t ₁ — 4 ₂, y = t ₁ и z = t ₂ в первую строка (2 w — 2 x + y = −1) определяет w :
Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид
, где т ₁ и т ₂ — любые вещественные числа.Другой способ написать решение:
, где т ₁, т ₂ ∈ R .
Пример 12 : Определите общее решение
, которая является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.
Поскольку решение неоднородной системы в примере 11 —
Теорема C подразумевает, что решение соответствующей однородной системы (где t ₁, t ₂ ∈ R ) получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.
Пример 13 : Докажите теорему A. Независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.
Проба . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема действительно сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x ₁ и x ₂ будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого реального значения t вектор x ₁ + t ( x ₁ — x ₂) также является решением A x = b ; Поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Начиная с A x ₁ = b и A x ₂,
Следовательно, x ₁ + t ( x ₁ — x ₂) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.
Минимальное количество платформ, необходимое для железнодорожного / автобусного вокзала
Учебники Алгоритмы Анализ алгоритмов Асимптотический анализ
Худший, средний и лучший случаи
Асимптотические обозначения
Немного о и маленьких обозначений омега
Теория нижней и верхней границы
Анализ петель
Решение повторений
Амортизированный анализ
Что означает «космическая сложность»?
Псевдополиномиальные алгоритмы
Схема аппроксимации полиномиального времени
Вопрос временной сложности
Алгоритмы поиска
Алгоритмы сортировки
.